gX2uQjFvtd19YwNU7KbyfJA0TGhms8oWLDeSVBqx
幾乎所有的流行病專家現都在玩統計，所以我們嘗試以統計學的觀點來看上述命題是否正確。
2BC6oyEIA9qMQLGPrDj350f74XSt8zZNHceaOKYF
2FwhpAP4uJOSWxLvE7fKMQYBktV6XUC3nRdcoiGr
首先，假設在一個Covid-19感染率為1/1000的地區，我們有一種快篩試劑，他的靈敏度(Sensitivity)和特異度(Specificity)都是99%。阿飛覺得喉嚨癢，首次快篩為陽性，請問阿飛確診的機率是多少？
fFrLXENcT94mG2J6ie0bgjIRlBdvZhU1pwC7AO8P
HmX7tq4YAULxk6Vh9QngD13rRcGpPOZsENJ0j8Sf
A. 99%，B. 90%，C. 49%，D. 9%
erDLhK2F4GWHM71i86pPmqIZ3BykbgfuX9oEcdNw
OhCqrcRZHk93yYSlP0d68foUzIB7vasEQ2eGWAnp
請注意，這題目可應用在任何疾病和試劑上，如癌症或肝炎，Covid-19只是一個可蹭熱度的例子。
wuLOcX0BerNlInGW1C92g4UjVkYTmhxsFtDd6K85
TEQJbVOLrYC47cuFpRlqgZxe9omBPI3ND6svUX1G
我們所需要的參數，只有：1.疾病感染率，2.試劑靈敏度和3.試劑特異度。
wgkWQSeUidEDTF4aRjsyN0plcZqGxIY8A9u3CbBV
oUq1aI5g2uw8e9EzbJHlyrfndjCkDh0Vxm3TRi7O
意外的答案
LIK7vEpkZy8MD3gzCiqf0JRaPoAbTYhjFWuOGXS9
bRWfGiOCBuMakpQNxYZAeq9XlzLwjHh2Trnm1Kgo
答案是，Covid-19 確診率的機會約 9%，而非直覺中的99%！但是如果第二次測試又是陽性，確診率將變成約90%
ZdjQTnGfJgs2p9tCoBDUqOuH7zMSkyAb4I5Ev8P6
(如無興趣，到此結束)
XmfCPjLnIBTGiS5Fxdb9Z4wcM6RAvWrOpyNagoVl
GhDqdS6IlMFVs4PaBTzX2Q5ZJpvkoKiEWACLuUx1
欲知詳情，首先，一些定義
gZMx6ahb9k7Y5cnof2jslWrUKCOGiPqXAvQdBV8E
靈敏度(Sensitivity) :阿飛確診時，試劑測出為陽性的機率(Probability)
QtiusHvDa2lFjpzgcVP3IRN4MEb7GU1rS6w5AkTW
特異度(Specificity) :阿飛沒被感染時，試劑測出陰性的機率(Probability)
5JmhzxgyAd0V2o64bewuY8MnEOXfkDNCvaFKSlH9
以數學公式表達：
E25POQRZ9o40AuTbSGWlmjwDh8ysqHMvzafU1V7I
靈敏度 = P(陽性|確診)
Lp23OAXdE0t4lFunBwN8vMmCa9cKzxsiJjI1GYkh
特異度 = P(陰性|沒事) (註：1-特異度 = P(陽性|沒事) )
U5Vy21Z3nhFIMWm7zHCosTAdlGuvcXEga6JSLiYQ
其中P(A|B)是條件機率，即是在B發生的情形下，A為真的機率
veD8bY5xrBm9pdgRaKkPGwsSIX6TcuylLUNJnEAZ
我們的目標，是根據前述事實，算出 P(確診|陽性)
YJCGfUhWLu0j1VgRNnqe4txoBbKX5D87ZmAiPpry
貝氏定理介紹
rZxGEjJVneuID6YXspzNKA3THi5c7WOaQotbM4mL
條件機率：當B發生時，A(和B皆)發生的機率，記作：P(A|B)，定義如下
yAhKmctqTVWJ78kHXC6Pj295upz3ZwaQeONgSb1v
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) (符號 ∩ 代表”且”，也就是 and)
YK8jsu32fcdapNyGLoRX17gqOPFCmhzQv4n9BWIx
aMk5S6rHFWgGptOesxDjY2iU0J7yml9LAoQTdNKb
貝氏定理：
2QrcevOJP43t6ymZhdboTAusjHY1Ek0LFinfzM5x
P(B|A) = P(B∩A) / P(A)
ODu3l78csXeGimTfUVItKhFgrBbvYW2LpkHAQzEJ
= P(A∩B) /P(A)
rQ2j9Xe5BiLsxtCqJ0RFpWv6ZIznAU4MNykESl38
= P (A|B) * P(B) / P(A)
PtdJVoesTxhi1R4BWlAza5qEZCLXH8gj7NKSI0Mu
亦即： P(B|A) = P (A|B) * P(B) / P(A)
F5gnfoNJiSRMv98jQ6CGBkYxXlTaAsdWwrpU2meZ
f5G4wyoXkEitzevLPNIlc9MWrxD6muUTa307HhBA
因靈敏度和 P(確診) 皆為已知
lwjQ4kmIBr8yuSb1EHdFt5zxDLNGZ9M2cgAsRvpe
靈敏度 = P(陽性|確診) = P(確診|陽性) * P(陽性)/P(確診)
BCIKcuq9RLlNjPHVra5bYpmkTFnoEWUi0hw7s3GD
想知道的的P(確診|陽性) = 靈敏度 * P(確診) / P(陽性)
wDzR4N5Yni2I7SuL9rQoGpgFaT6kZ0XyVPJjKEWx
(靈敏度 = 0.99和 P(確診) = 0.001 皆為已知)
wQcy1xjKLhbrkXWUEmduH6s5e4IVolvT2FRzAiO9
wDTJF6VsS24Eod7nhHpx3GW8qMaZOUjRyk1bvutm
所以，接著就是求P(陽性)
khnCHTLFWDxgPYMrZGKb496f0qVwoU8Avdzyilcs
P(陽性) = P(確診且陽性)+P(沒事且陽性(也就是誤判))
2fuSYBIr1GKMAdEaPjQ0hRF4WvNesky7lgpZz56w
P(陽性) = P(確診 ∩ 陽性) + P(沒事 ∩ 陽性)
OkY8DS6AR1MErdC49U0WKcsBm27Jfnoypv3FhGgq
= P(陽性|確診)* P(確診) + P(陽性|沒事) *P(沒事)
M7OhLEQKHoyg9DTvNlUpqVrR2nwie80Fu4kdBA3P
ZzgYnWKpBwTxsQq2OuPhLlXMacVi5GrHCmeJEDUS
因為P(陽性|沒事) = 1-P(陰性|沒事)，P(沒事)= 1-P(確診)
1Ar5bHhQXcNB2KLOyGlnWMFx6mkudjqeCsg49tzU
= 靈敏度 * P(確診) + (1-P(陰性|沒事)* (1-P(確診))
C5NlGmtqBT3oUwYVirxOJuKpDaeFvZSbP6Qfh9AI
= 靈敏度 * P(確診) + (1-特異度) * (1-P(確診))
bFzPuhRTtn0MLcajCDBOlQk6KIv8g3HoW2Y1Spd9
(此時我們已有所有數值)
zjPXcL62dUfObK1hFotZwYM9BNxrieT38gEvpCsH
1QulzKRTIV2eHhj5U9On36tZvAGmgaYELxsbPBSW
結論
RK5pVw9drZhAUs8qaiHyEPv4NnJITXWDYjf73GQt
P(確診|陽性) =靈敏度 * P(確診) / P(陽性)
l1dqb9OTJaHKzfUgiVh2xCZ5Svj7wnRLEWN3Gp46
P(陽性) = 靈敏度 * P(確診) + (1-特異度) * (1-P(確診)
nvWtcRKVYoCEQXk5PyOhd9DBmwjl6LxFuTZf3zr2
代入數字
jPRO4GQ5h7fSNgwn3iVJ69TWt2ycUBreHkA8uKDm
P(陽性) = 0.99 * 0.001 + 0.01* 0.999 = 0.00099 + 0.00999 約= 0.011
QGP93vANwhqmKi16YxILoBVeDFy5StczMgbOpHZs
答案：P(確診|陽性) = 0.99 * 0.001 / 0.011 = 0.09約=9%
nucmVh693jkgAblaTBWEsZ20L1rIxJvCpXtYFK8G
連續第二次陽性時，先驗 P(確診)=原先後驗的 P(確診|陽性)=0.09
3oxFdNm1kMIAuhjTCn9tVHfL2wBzayKbeY6RJrQE
P(確診|陽性) = (0.99 * 0.09) / (0.99*0.09 + 0.01*0.91) = 0.09/0.0991 約= 90%
E1CTBzwtPbsycSqWUa5ImVir273pevxKkQ6ZR4Fh
連續第三次陽性時， P(確診|陽性) 約= 99.9%，應是確診
HJz58aefMmGrqCwKhXN94cdEvjOgPQTtsL3FyokS
試問：在P(確診)=0.01的地區，第一次快篩陽，P(確診|陽性) = 50%？
hlfS7aEHVPmUMwibZOFpGeuLn6t4085cKdzJgvRD
Vre2HhgAn19SFamck3JoUINq8TuDldsfOW5PCLwR
敬請指教
hWCalYkG4mXK3yLjr5UneA2HTpPvN7dJQBtRVcuI
pEmJIzO28XrVT14Mgsa76tAvFd5KSYoGli0yPxWw
回應(0)